【解説】2022 鹿児島大学 数学 [1]
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鹿児島大学 数学 教育学部 数学[1]を解説します
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(1)
方針
cosABC から sinABC から 三角比 を使う
解答
余弦定理より
$$ \cos \mathrm{ABC} = \frac{5^2 + 9^2 – 6^2}{2 \times 5 \times 9}$$
$$ = \frac{70}{2 \cdot 5 \cdot 9} $$
$$ = \frac{7}{9} $$
\( 0 < \angle \mathrm{ABC} < \pi \)なので
$$ \sin \mathrm{ABC} = \sqrt{1 – \cos ^2 \mathrm{ABC} } $$
$$ = \sqrt{1 – (\frac{7}{9}) ^2} $$
$$ = \frac{ \sqrt{81 -49}}{9} $$
$$ = \frac{\sqrt{32}}{9} $$
$$ = \frac{4 \sqrt{2}}{9} $$
\( \mathrm{AH} \)は頂点\( \mathrm{A} \)から\( \mathrm{BC} \)に下ろした垂線なので
\( \sin\mathrm{ABC}= \frac{ \mathrm{AH}}{ \mathrm{AB}} \)になる
$$ \mathrm{AH} = \mathrm{AB} \cdot \sin \mathrm{ABC} $$
$$ = 5 \cdot \frac{4 \sqrt{2}}{9} $$
$$ \underline{ \mathrm{AH} = \frac{20 \sqrt{2}}{9}} $$
(２)
方針
因数分解して整数の性質を使い、場合分け
解答
$$ ab = 4a -b $$
$$ ab + b = 4a $$
$$ b (a + 1 ) = 4a $$
\( (a + 1 ) > a \) なので \( b < 4 \)
\( a , b \) は共に整数なので \( b = 1, 2, 3 \)になる
\( \mathrm{i} ) b = 1 \) のとき
$$ (1 + a ) = 4a $$
$$ 3a =1 $$
$$ a = \frac{1}{3} $$
これは条件を満たさない
\( \mathrm{ii} ) b = 2 \) のとき
$$ 2( 1 + a ) = 4a $$
$$ 1 + a = 2a $$
$$ a = 1 $$
これは条件を満たす
\( \mathrm{iii} ) b= 3 \)のとき
$$ 3( 1 + a ) =4a $$
$$ 3 + 3a = 4a $$
$$ a= 3 $$
これは条件を満たす
したがって求めた値は
$$ \underline{(a, b) = (1, 2), (3, 3) } $$
(3)
方針
図形の性質と順列の知識などを用いて考える
解答
\(2n\)個の頂点から\(3\)点を選ぶことで三角形ができるので
$$ _{2\mathrm{n}} \mathrm{C} _3 = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}$$
$$ = \frac{4n(n-1)(2n-1)}{2 \cdot 3} $$
$$ = \frac{2n}{3} (n – 1)(2n – 1) $$
よって求める場合の数は\( \underline{ \frac{2n}{3} (n – 1)(2n – 1)} \) 通り
この三角形が直角になるときは一辺が直径のときなので
直径は\(n\)通りある（なぜなら頂点が\(2n\)個に対して半分になるから）
一本の直径に対して、\(2n-2\)個の頂点があるので
\( n \cdot (2n-2) = 2n(n – 1)\)通りある。
よって求める確率は
$$ \frac{2n(n – 1)}{ \frac{2n}{3} (n – 1)(2n – 1)} $$
$$ = \frac{3 \cdot 2n(n – 1)}{2n (n – 1)(2n – 1)} $$
$$ = \underline{ \frac{3}{2n-1}} $$
まとめ
きっちり復習をしましょう！(三角比、整数、確率)
(最後までご覧いただきありがとうございました)
