【解説】2022 鹿児島大学 数学 [3-1]
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(1)
方針
条件通りにする
解答
$$ a_3 \cdot a_1 ={a_2}^2 + 1 $$
$$ a_3 \cdot 1 = 2^2 + 1 $$
$$ \underline{ a_3 = 5} $$
$$ a_4 \cdot a_2= {a_3} ^2 + 1 $$
$$ a_4 \cdot 2 = 5^2 + 1 $$
$$ 2 a_4 = 26 $$
$$ \underline{a_4 = 13} $$
$$ a_5 \cdot a_3 = {a_4}^2 + 1 $$
$$ a_5 \cdot 5 = 13^2 + 1 $$
$$ 5 a_5 = 169 + 1 $$
$$ \underline{a_5 = 34 } $$
(２)
方針
今回は左辺を変形して右辺を作る。
解答
$$ ( a_{ n + 1 } +ca_n + a_{ n – 1 } ) a_{ n – 1 } $$
$$ = a_{ n + 1 }a_{ n – 1 } + ca_n a_{ n – 1} + {a_{ n – 1}}^2 $$
条件より
$$ = {a_n}^2 + 1 + ca_n a_{ n – 1 } + a_n a_{ n – 2} – 1 $$
$$ = {a_n}^2 + ca_n a_{ n – 1 } + a_n a_{ n – 2} $$
$$ = a_n( a_n + ca_{ n – 1 } + a_{ n – 2} )$$
(3)
方針
(2)を用いて漸化式の形を作る
解答
(2)において\( c = -3 \)とする
$$( a_{ n + 1 } – 3 a_n + a_{ n – 1 } ) a_{ n – 1 } $$
$$= a_n ( a_{ n } – 3 a_{ n – 1 } + a_{ n -2 } ) $$
数列\( a_n \)はすべて正なので両辺を\( a_n a_{ n – 1} \)で割ると
$$ \frac{ a_{ n + 1} – 3 a_n + a_{ n – 1}}{ a_{n} } $$
$$ = \frac{ a_{ n } – 3 a_{n – 1 } + a_{ n – 2}}{ a_{n – 1} } $$
\( b_n = \frac{ a_{ n } – 3 a_{n – 1 } + a_{ n – 2}}{ a_{n – 1} } \ (n \geq 3 ) \) とすると
\( b_{ n + 1 } = b_n \) となり定数列である
$$ b_3 = \frac{ a_{ 3 } – 3 a_{ 2 } + a_{ 1}}{ a_{ 2 } } $$
$$ = \frac{ 5 – 3 \cdot 2 + 1 }{2} = 0 $$
\( b_n \)は定数列なので
$$ \frac{ a_{ n } – 3 a_{n – 1 } + a_{ n – 2}}{ a_{n – 1} }= 0 $$
\( a_n \)は正なので
$$ a_{ n } – 3 a_{n – 1 } + a_{ n – 2} = 0 $$
まとめ
きっちり復習をしましょう！(数列)
(最後までご覧いただきありがとうございました)