2021 鳥取大学 地域学部 農学部 数学 [3]

個別指導で講師をしている
私が解説します

(1)

桁数を求める→常用対数を使う

$$20^{21}$$

常用対数を取ると

$$ \log_{10} 20^{21}$$

$$ = 21 \log_{10} 20$$

$$ = 21(\log_{10} (10 \times 2))$$

$$ = 21(\log_{10} 10 +\log_{10} 2)$$

$$ = 21(1 + 0.301) $$

$$ = 27.321 $$

よって

$$ 27 \leq \log_{10} 20^{21} < 28 $$

$$ 10^{27} \leq 20^{21} < 10^{28} $$

よって\(\underline{28}\)桁

(２)

最高位の数字を求める→常用対数を使う

最高位の値を\(a\)とする

$$ a \times 10^{27}  \leq 20^{21} < (a + 1) \times 10^{27} $$

ここで常用対数を取ると

$$ 27 + \log_{10} a \leq 27.321 < 27 + \log_{10} (a + 1) $$

$$ \log_{10} a \leq 0.321 < \log_{10}(a+1) $$

\( \log_{10} 2 = 0.3010 , \log_{10} 3 = 0.4771 \)なので

$$ 0.3010 \leq 0.321 < 0.4771 $$

よって最高位の値は\(\underline{2}\)になる

(3)

常用対数で求める

$$ 5^n > 20^{21} $$

 常用対数を取る

$$ \log_{10} 5^n > \log_{10} 20^{21} $$

$$ n \log_{10} 5 > 27.321 $$

$$ n \log_{10} \frac{10}{2} > 27.321 $$

$$ n (\log_{10} 10 -\log_{10} 2) > 27.321$$

$$ n ( 1 -0.3010) > 27.321 $$

$$ 0.6990 n > 27.321 $$

$$ n > 39.085… $$

したがって最小の\(n\)は\(\underline{40}\)

(最後までご覧いただきありがとうございました)