2021 鳥取大学 地域学部 農学部 数学 [2]

個別指導で講師をしている
私が解説します

(1)

円の接線の公式より

$$sx +ty = r^2$$

$$\underline{y = -\frac{s}{t}x + \frac{r^2}{t}}$$

(２)

条件を使う

接点は接線上にあることを使う

\( \frac{r^2}{t}\)が切片なので

$$ 2r < \frac{r^2}{t} < 3r $$

\(s,t\)は共に正なので

$$ 2 < \frac{r}{t} < 3$$

$$ \frac{1}{3} < \frac{t}{r} < \frac{1}{2} $$

$$ \frac{1}{3} r < t < \frac{1}{2} r  $$

これにより\(t\)の条件はわかったが求めたいのは\(s\)の条件である

ここで2つ目の方針を使う

(1)でかつ\(s,t\)は接線上にあるので

$$s^2 + t^2 = r^2 $$

$$ t^2 = r^2 -s^2 $$

上より

$$ \frac{1}{3} r < t < \frac{1}{2} r  $$

$$ \frac{1}{9}r^2 < t^2 < \frac{1}{4}r^2$$

$$ \frac{1}{9}r^2 < r^2 -s^2 < \frac{1}{4}r^2$$

$$ – \frac{1}{4}r^2 < s^2 -r^2 < – \frac{1}{9}r^2$$

$$ \frac{3}{4}r^2 < s^2 < \frac{8}{9}r^2$$

\(r,s\)は共に正なので

$$ \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}r < s < \frac{2\sqrt{2}}{3}r}$$

(最後までご覧いただきありがとうございました)