【解説】2022 共通テスト 数学 1A 第１問
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2022 共通テスト 数学 1A 第1問を解説します。
個別指導で講師をしている
私が解説します
[1]
方針
難しく考えるのではなく使える条件が何なのか考える
解答
(1)
$$a + b + c = 1 $$
及び
$$a^2 + b^2 + c^2 = 13 $$
より
\(ab + bc + ca \)を求める
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca ) \)なので
$$1^2 = 13 + 2(ab + bc + ca) $$
$$ 2(ab + bc +ca) = 1 – 13 $$
$$ \underline{ab + bc + ca = -6} $$
\( (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 \)について
\( (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 ) -2(ab + bc + ca ) \)より
$$ (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 2 (13) -2(-6) $$
$$\underline{(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 38} $$
\(a -b = 2\sqrt{5} \)の場合
\(b – c = x, c – a = y\) とおくと
$$ x + y = ( b – c ) +(c – a) $$
$$ = b – a =- (a – b) $$
$$ \underline{ x + y = -2\sqrt{5}} $$
\((a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 38\) より
$$ (2\sqrt{5})^2 + x^2 +y^2 = 38 $$
$$ \underline{x^2 + y^2 = 18} $$
\( (a – b)(b -c)(c – a)\) を求めたい！
条件に合わせると
\( 2\sqrt{5} x y \)になる
\( (x +y)^2 =x^2 + y^2 + 2xy \) より
$$( -2\sqrt{5})^2 = 18 + 2xy $$
$$xy = 1$$
したがって
$$(a – b)(b – c)(c – a) = 2\sqrt{5} \times 1$$
$$\underline{(a – b)(b – c)(c – a) = 2\sqrt{5} }$$
[２]
方針
\( \tan \theta \)の定義の確認と表を使う
解答
\( \tan \)は水平分の鉛直である。
縮尺を見ると水平と鉛直の縮尺が違うので一致させる必要がある鉛直を４で割る
$$ \tan 16^\circ \times \frac{1}{4} = 0.2867 \times \frac{1}{4} = 0.0714$$
したがって求める値は\(\underline{0.072}\)
また\( \tan \theta = 0.714\)は
\(tan 4^\circ \) より大きく \(tan 5^\circ \)より小さいため
セは②
(3)
方針
\( \sin \) と外接円の関係
解答
\( \frac{AC}{2R} = \sin ABC \)なので
$$ \sin ABC = \frac{4}{6} $$
$$ \underline{ \sin ABC = \frac{2}{3}} $$
ADはAからBCに垂直におろしているので
\( \frac{AD}{AB} = \sin ABC \)になる
$$ AD =\sin ABC \times AB $$
$$ AD = \frac{2}{3} \times 5 $$
$$ \underline{ AD = \frac{10}{3}} $$
ABの範囲について
三角形の辺の長さは外接円の直径より
長くなることはないので
ABの最大は6
最小はACが６になるとき条件式より
ABの最小は４
よって
$$ \underline{4 \leq AD \leq 6}$$
ADについて考える
\( \frac{AC}{2R} = \sin ABC = \frac{AD}{AB} \) なので
$$ AD = \frac{AC}{2R}AB $$
$$ = AC \frac{AB}{2 \times 3} $$
条件より\( 2AB + AC = 14\) なので
$$ = (14 -2AB )\frac{AB}{6} $$
$$ = -\frac{2}{6} AB^2 + \frac{14}{6}AB $$
$$ \underline{ AD = \frac{-1}{3} AB^2 + \frac{7}{3} AB} $$
上より平方完成すると
$$ AD = – \frac{1}{3}( AB -\frac{7}{2} )^2 + \frac{1}{3} \times \frac{7^2}{2^2} $$
これより上に凸で軸が \( \frac{7}{2} \) でかつ \( 4 \leq AD \leq 6 \)
よりAB= ４でADが最大値をとる
したがって
$$ AD = – \frac{1}{3} 4^2 + \frac{7}{3} 4 $$
$$ = \frac{-16 + 28 }{3} = \frac{12}{3} $$
$$ \underline{ AD = 4} $$
まとめ
きっちり復習をしましょう！(式と計算、三角比)
(最後までご覧いただきありがとうございました)
