【解説】2022 鹿児島大学 数学 [3-2]
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鹿児島大学 数学 教育学部 数学[3-2]を解説します
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問題はこちらからどうぞ
この問題は正六面体ではなく平行六面体であるので
正六面体が歪んでいるようなものになる
(この問題では意識せずに解けます)
(1)
方針
点Pは面ABM上にあり、直線OGにあることを使う。
解答
点\( \mathrm{P} \)は面 \( \mathrm{ABM} \)上にあるので以下のようにおける
$$ \overrightarrow{ \mathrm{OP}} = \overrightarrow{ \mathrm{OM}} + s \overrightarrow{ \mathrm{MA}} + u \overrightarrow{ \mathrm{MB}} $$ \( (s,u) \)は共に実数
$$ = \overrightarrow{ \mathrm{OM}} + s ( \overrightarrow{ \mathrm{MO}} + \overrightarrow{ \mathrm{OA}} ) + u (\overrightarrow{ \mathrm{MO}} + \overrightarrow{ \mathrm{OB}} ) $$
$$ = (1 – s – u ) \overrightarrow{ \mathrm{OM}} + s \vec{a} + u \vec{b} $$
点\( \mathrm{ M } \)は\( \mathrm{ OC } \) を\( 1:t \) に内分しているので
$$ = ( 1 – s – u) \frac{1}{ 1 + t } \vec{c} + s \vec{a} + u \vec{b} $$
(0 < t < 1)
$$ \overrightarrow{ \mathrm{OP}} = s \vec{a} + u \vec{b} + \frac{ 1 – s – u}{ 1 + t } \vec{c} $$
点\( \mathrm{P} \)は 直線\( \mathrm{OG} \)上なので下のようにおける
$$ \overrightarrow{ \mathrm{OP}} = k \overrightarrow{ \mathrm{OG}} $$
\( \mathrm{k} \)は実数
$$ \overrightarrow{ \mathrm{OP}} = k \vec{a} + k \vec{b} + k \vec{c} $$
2つの\(\overrightarrow{ \mathrm{OP}}\)に関する式と
\( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) はすべて互いに一次独立なので
\(
\left(
\begin{array}{c}
k \\
k \\
k
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
s \\
u \\
\frac{1 – s – u}{1 + t}
\end{array}
\right)
\)
\( s,u\)に\( k \) を代入すると
$$ k = \frac{1 – k – k}{1 + t} $$
$$ (1 + t) \cdot k = 1 – 2k $$
$$ (3 + t)k = 1 $$
$$ k = \frac{1}{t + 3} $$
(0 < t < 1)
したがって求めるベクトルは
$$ \underline{ \overrightarrow{ \mathrm{OP}} = \frac{1}{ t + 3 }( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})} $$
(２)
方針
共通の面から考える。
解答
面\( \mathrm{OAB} \) を底面としたとき
\( \mathrm{V_1, V_2} \)の高さ方向の要素は\( \mathrm{OE,OP} \)になるので
$$ V_1 : V_2 = \mathrm{ OE } : \mathrm{ OP} $$
$$ = \vec{c} : \frac{1}{ t + 3} \vec{c} $$
$$\underline{ V_1 : V_2 = 1 : \frac{1}{ t + 3 } }$$
(3)
方針
平行の条件と重心の条件を利用する
解答
\( \mathrm{FC}, \mathrm{QP} \)は平行なので
$$ l \overrightarrow{ \mathrm{FC}} = \overrightarrow{ \mathrm{QP}} $$
\( l \)は実数
$$ \overrightarrow{ \mathrm{FC}} = \overrightarrow{ \mathrm{FO}} + \overrightarrow{ \mathrm{OC}}$$
$$ = – \overrightarrow{ \mathrm{OF}} + \overrightarrow{ \mathrm{OC}} $$
$$ = – \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $$
$$ l \overrightarrow{ \mathrm{FC}} = – l \vec{a} + l \vec{b} + l \vec{c} $$
また
$$ \overrightarrow{ \mathrm{QP}} = \overrightarrow{ \mathrm{QO}} + \overrightarrow{ \mathrm{OP}} $$
$$ = – \overrightarrow{ \mathrm{OQ}} + \overrightarrow{ \mathrm{OP}} $$
点\( \mathrm{Q} \) は重心なので
$$ \overrightarrow{ \mathrm{OQ}} = \frac{1}{3} ( \vec{a} + \vec{b} ) $$
(1)より
$$ \overrightarrow{ \mathrm{QP}} = – \frac{1}{3} ( \vec{a} + \vec{b} ) + \frac{1}{ t + 3 }( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
$$ = ( \frac{1}{ t + 3 } – \frac{1}{3} ) \vec{a} + ( \frac{1}{ t + 3 } – \frac{1}{3} ) \vec{b} +\frac{1}{ t + 3 }\vec{c} $$
2つの\(\overrightarrow{ \mathrm{QP}}\)に関する式と
\( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) はすべて互いに一次独立なので
\(
\left(
\begin{array}{c}
-l \\
-l \\
l
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{t + 3} – \frac{1}{3} \\
\frac{1}{t + 3} – \frac{1}{3} \\
\frac{1}{t + 3}
\end{array}
\right)
\)
\left(
\begin{array}{c}
-l \\
-l \\
l
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{t + 3} – \frac{1}{3} \\
\frac{1}{t + 3} – \frac{1}{3} \\
\frac{1}{t + 3}
\end{array}
\right)
\)
\(\frac{1}{t + 3}\)に\( l \) を代入
$$ l – \frac{1}{3} = -l $$
$$ 2l = \frac{1}{3} $$
$$ l = \frac{1}{6} $$
よって
$$ \frac{1}{t + 3} = \frac{1}{6} $$
$$ t+ 3 = 6 $$
$$ \underline{ t = 3} $$
まとめ
きっちり復習をしましょう！(ベクトル)
(最後までご覧いただきありがとうございました)