2021 鳥取大学 地域学部 農学部 数学 [4]

個別指導で講師をしている
私が解説します

(1)

2進数に表記を変えて、条件に合わせる

\(a_{6}\)について

\( 6 = 4 + 2 = 110_{(2)}\)なので

$$a_{6} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^2} $$

$$= \underline{ \frac{3}{8}}$$

同様にして

\(7 = 4 +2 +1 =111_{(2)} \)

\(8 = 8 = 1000_{(2)} \)

\(  9 = 8 +1 = 1001_{(2)}\)なので

 $$ a_{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} $$

$$ = \frac{4 +2 +1}{8}$$

$$ a_{7} = \underline{ \frac{7}{8}} $$

$$ a_{8} = \frac{1}{2^4} = \underline{ \frac{1}{16}} $$

$$ a_{9} = \frac{1}{2^4} +\frac{1}{2} = \underline{ \frac{9}{16}}$$

(２)

難しいのでもう一回問題を読み直すと\(D(n)\)の条件があるので使ってみる

\( 2^k \leq n < 2^{k+1}\)なので

nは2進数では\(k+1\)桁になる

したがって

\( D(n) = n+1 \)になる

$$ a_{n} = b_1(\frac{1}{2})^1 +b_2(\frac{1}{2})^2 +… $$

$$+ b_{k}(\frac{1}{2})^k+ (1)(\frac{1}{2})^{k+1}$$

\(2^k \leq n < 2^{k+1} \) より

$$ 0 \leq n -2^k < 2^{k+1} -2^k  $$

$$ 0 \leq n -2^k < 2^k(2-1) $$

$$ 0 \leq n -2^k < 2^k $$

よって

$$a_{n-2^k} = b_{1}(\frac{1}{2} )^1 + b_{2}(\frac{1}{2})^2 + … + b_{n}(\frac{1}{2})^k$$

$$ a_{n} -a_{n -2^k} = (\frac{1}{2})^{k+1} $$

$$ \underline{ a_{n} = a_{n -2^k} + (\frac{1}{2})^{k+1}} $$

(3)

カタマリごとで分ける(2の累乗)

(2)より

$$ a_{128} = a_{128 -2^7} +(\frac{1}{2})^8 =a_0 +(\frac{1}{2})^8 $$

$$ a_{127} = a_{127 -2^6} +(\frac{1}{2})^7 = a_{63} +(\frac{1}{2})^7 $$

同様にして

$$ a_{126} =a_{62} +(\frac{1}{2})^7 $$

…

$$ a_{64} = a_0 +(\frac{1}{2})^7 $$

  したがって

$$ \sum_{i = 2^k}^{2^{k+1} -1} a_i = \sum_{i = 0}^{2^k -1}a_k +{(2^{k+1} -1 -(2^k -1))}(\frac{1}{2})^{k+1}$$

\( 2^{k+1} -1 -(2^k -1)\) は項数で

\(2^{k+1} -2^k = 2^k(2 -1) = 2^k \)になる

\( T_k = \sum_{i = 0}^{2^k -1}a_i \)とおくと

$$T_{k +1} =2T_k +\frac{1}{2}$$

$$ T_{k +1} +\frac{1}{2} = 2(T_k +\frac{1}{2}) $$

$$ T_1 = \sum_{i = 0}^{1}a_i = a_0 + a_1 = \frac{1}{2} $$

$$T_k +\frac{1}{2} = 2^{k-1} $$

$$ T_k = 2^{k-1} +\frac{1}{2} $$

$$ S_{130} = T_7 + a_{128} + a_{129} + a_{130} $$

$$ = 2^{7-1} +\frac{1}{2} $$

$$+a_0 +(\frac{1}{2})^8 +a_1 +(\frac{1}{2})^8 +a_2 +(\frac{1}{2})^8$$

$$ = \underline{\frac{16451}{256}} $$

(最後までご覧いただきありがとうございました)